テキスト検索結果の画像を完全に制御することはできませんが、最近のアップデートにより、schema.orgのprimaryImageOfPage プロパティや og:image メタタグを使用することで「優先画像を指定する」ことが可能になった。

※サクラサクコメント
Facebook向けにog:imageを設定しているのであれば、この変更に対応できていることになります。
参考：メタデータを使用して優先画像を指定する

ツールによって使用するソースやデータの更新頻度が異なるため、矛盾が生じることがある。
通常は時間の経過とともに違いがなくなるため、しばらく時間を置いてから再度確認してほしい。

現行ドメインのプロパティのみにアップロードしてください。リダイレクトが正しく設定されていれば、Googleはリンクシグナルを新しいドメインに転送するため、過去のドメインにアップロードする必要はありません

※サクラサクコメント
逆効果を生んでしまうリスクなどから、Googleは基本的にリンク否認ツールを使う必要がないとアナウンスしています

ペナルティではない。
ユーザーの検索クエリに対して、カテゴリトップよりも詳細で具体的な情報を含んでいる下層ページの方が「より関連性が高い」とGoogleが判断している可能性がある

一般的にこのようなエラーが発生する場合、Googlebotがコンテンツを完全に取得・レンダリングできていない可能性が高い。
サーバー側（ファイアウォール、リクエストブロック、タイムアウトなど）でGooglebotのアクセスが制御されていないか、サーバーログを確認することが解決の糸口となる

なお、このサイトではすでに問題が解決しているようであった。
トップページと配下のページが別のシステムで動いているようなサイトだったので、配下領域のサーバー側で問題があったと思われる

新規コンテンツのインデックスには時間がかかる。
「クロール済み – インデックス未登録」の場合は、コンテンツの有用性や品質の向上に取り組むことが必要である。
並行してサイトマップやhreflangのエラー解消にも取り組むとよい

※サクラサクコメント
一度インデックスされた後に削除されたという事象に沿った回答になっておらず、明言することを避けたようです

このステータスは「Googlebotがクロールしたものの、検索結果に表示するほど十分な価値がないと判断した」状態を示す
これはインデックスしない決断をしたことを意味するが、それによってサイト全体がアルゴリズムによる手動対策を受けているわけではない
引き続き個々のページの有用性や品質向上に努めるとよい

どちらも原因になりうる
商品リストやファセットナビゲーション等の変更だけで独自性が低いと判断されたり、サーバー応答の不安定さによりコンテンツが完全に取得されず重複判定を招いたりすることがある
ユニーク性を強調するには、主要な独自テキストをHTMLの早い段階で読み込ませることが有効

具体的な回答はできないが、一般的にGoogleはクエリの意味を理解し、ユーザーにとって最適な結果を返すよう努めている

日本語および日本地域は未対応
ドキュメントに利用可能な地域は記載しているが、特定言語の具体的な対応時期について伝えられることはない
なお、リッチリザルトテストで有効と出ても、サポートされていない地域では検索結果には表示されない
参考：イベント（Event）の構造化データ

シンプルで理解しやすいパスはユーザーとクローラーの両方に有益である
REST APIのようにリソースを明確に示すURL設計も間接的に役立つ
日本語パスについては、エンコードの有無に関わらず同じページとして認識するが、正規化された（一貫した）URLの使用を推奨する

HTMLのヘッドセクションの解析時にnoindexタグが検出されると、以降のリソースのフェッチやJavaScriptの実行、本格的なレンダリングをスキップする可能性がある
noindexタグ自体を読み取るために初期のDOM構築は必要であるため、通常は実行される

※サクラサクコメント
もともとのHTMLにnoindexが記載されており、それをJavaScriptで取り除いている場合に問題になりやすいと考えられます

緊急度はビジネス課題や状況によるが、URL検査ツールでtitleやcanonicalなどの重要タグが正しく認識されていれば、緊急度はそれほど高くないかもしれない
しかし、HTMLの健全性のためには修正を推奨

最も確実な方法は、サイトのサーバーログでGooglebotのユーザーエージェントに対する応答ヘッダーを直接確認することである。
または、コードベースやデータベースでハードコードされた可能性のあるIPアドレス、ファイアウォール、CDNルールがないかどうかを確認することも有効

質問者のサイトを確認したところ、301リダイレクトは既に解除され、代わりに別の新規URLが作成されて上位表示されていたので、問題は解決しているように見受けられた。
301リダイレクトが正しく実装されていないと問題が生じることが多い

ページが更新・公開された日付をGoogleに推定させて検索結果に反映させる方法については、公式ドキュメントを参照してほしい

Google 検索で署名日に影響を与える
https://developers.google.com/search/docs/appearance/publication-dates?hl=ja

BigQueryにはプロパティ別に集計するsearchdata_site_impressionと、URL別に集計するsearchdata_url_impressionの2つのテーブルがある
2つのリンクが表示される場合、site_impressionには1インプレッション、url_impressionには2インプレッションが表示される
この場合、searchdata_site_impressionにおいて、表示回数は1、平均順位は1となる

パフォーマンスレポートで24時間表示を選択すると居住地域の現地時間（ブラウザ設定に基づく）で表示されるが、その他のオプションや日付は全て太平洋時間（PT）で表示される

※サクラサクコメント
上記のように回答されましたが、URL検査ツールにて太平洋時間ではまだ来ていない時間が表示されることがあります。
おそらくパフォーマンスレポートの24時間ビュー以外にも現地時間が表示されているケースがありそうです。